TALLER EN CLASE

1. Tomando en cuenta la información suministrada por el IDEAM sitio web:

(http://bart.ideam.gov.co/cliciu/villao/temperatura.htm) 

Construir un modelo del clima de la Ciudad de Villavicencio y simular usando el método de Cadenas de Markov, el clima de los siguientes seis meses.

SOLUCIÓN

Según los datos se realizara el modelo de simulación para la gráfica de TEMPERATURAS MEDIAS.

TEOREMA 1

Si en cada paso hay una probabilidad constante p de obtener un resultado favorable, el número esperado de pasos hasta obtener el primer resultado favorable es 1/p.

Donde P= 0.5 y el número= 1/0.5=2

Teorema: En toda cadena de Markov absorbente la cadena de absorción es: 

·         La matriz identidad es una matriz cuadrada m*m = R^m*m.

·         La matriz nula es una matriz Mx (n-m) = R^{mx (n-m).}

·         La matriz R = R ^(n-m)*m.

·         La matriz Q = R ^(n-m)*(n-m).

Ejemplo:

EJERCICIOS

1. Después de muchos estudios sobre el clima hemos visto que si un día esta soleado en el 70% de los casos el día siguiente continué soleado y un 30% continué nublado.También nos fijamos que si un día esta nublado la probabilidad de que este soleado el día siguiente en de 60%. ¿Hoy esta nublado cual es la probabilidad de que mañana este nublado? ¿Cuál es la probabilidad de que este nublado pasado mañana?

Matriz

• La probabilidad de que mañana este nublado es de 40%.

• La probabilidad de que pasado mañana este nublado es:

 (0.4*0.4) + (0.6*0.3) = 0.34 = 34%. 

2. La peatonal de mi pueblo tiene 6 cuadras de largo, que van de norte a sur, como tengo una moneda, se me ocurre tirarla y caminar una cuadra hacia el norte si sale cara o una cuadra hacia el sur si sale sello. continuo hasta salir de la peatonal, ya sea hacia el norte o hacia el sur. Si comienzo justo en la mitad ¿Cuántas cuadras caminare hasta llegar a cualquiera de las esquinas?.

DEFINICIÓN DE UNA MATRIZ

Una matriz es un arreglo matemático rectangular de elementos que pueden ser números o letras formado por filas (m) y columnas (n) que nos da el orden de la matriz y la cual se representa generalmente con letras mayúsculas con subíndices numéricos:  

 

Con la siguiente representación trataremos de despejar las dudas que pudieran haber surgido:

En cualquier Matriz se puede distinguir la “ Diagonal Principal “ que es la formada por los elementos:  ,,,...

 

Cuando una Matriz tiene el mismo número de Filas que el de Columnas forma lo que se conoce como una matriz cuadrada a la cual se le puede representar por un número real dicho arreglo se le llamará Determinante.

   

• MATRIZ IDENTIDAD

La Matriz Identidad es aquella matriz cuadrada que tiene en su diagonal principal elementos que son la unidad  (unos  y los demás elementos son ceros ( 0 )

Ejemplos, de matrices identidad de Orden 1, Orden 2 y de Orden 3 respectivamente

• MATRIZ NULA  (0)

La Matriz Nula  m x n simbolizada por un cero, tiene m filas  y n columnas en la que todos sus elementos son “ceros “ y se la llama Identidad Aditiva en donde A+0=A.

CADENAS DE MARKOV

CADENAS DE MARKOV

1. ¿Una cadena de Markov es?

Una cadena de Markov es una sucesión de ensayos similares u observaciones en la cual cada ensayo tiene el mismo número finito de resultados posibles y en donde la probabilidad de cada resultado para un ensayo dado depende sólo del resultado del ensayo inmediatamente precedente y no de cualquier resultado previo.

2. ¿Un proceso de Markov es?

Un proceso de Markov tiene la propiedad de que la probabilidad de comportamiento futuro está totalmente definida si se conoce el estado actual. El conocimiento de estados previos al actual no altera la probabilidad de comportamiento futuro.

3. Los puntos en una cadena de Markov son:

Exhaustivos y mutuamente excluyentes

4. La ocurrencia de un estado futuro es: consecuencia de un estado anterior.

     5.  ¿Qué es transición?

Formalmente, el estado de un sistema en un instante t es una variable cuyos valore solo pueden pertenecer a los conjuntos de un estado de sistema. El sistema modelizado por la cadena, por lo tanto, es una variable que cambia el valor en el tiempo, cambio al que llamamos transición.

     6. ¿Qué es un estado absorbente?

Un estado tal que si el proceso en el permanecerá indefinidamente en este estado (ya que las probabilidades de pasar a cualquiera de los otros son cero).

    7. ¿Qué es una cadena ergòdica?

Una cadena de Markov es ergodica si todos sus estados son no nulos, no periódicos y recurrentes. Las cadenas de Markov ergòdicas cumplen la siguiente propiedad:

El límite lım_n→0 p(n)_ij existe y es independiente del estado inicial i. Lo denominaremos π_j.

http://es.scribd.com/doc/179023172/Pruebas-Estadisticas-Para-Los-p-A

GENERALIDADES DE LOS NÚMEROS PSEUDO ALEATORIOS

• Algoritmo de cuadrados medios

Este algoritmo no congruencial fue propuesto en la década de los cuarenta del siglo XX por Von Neumann y Metrópolis. Requiere un número entero detonador con D dígitos, el cual es elevado al cuadrado para seleccionar del resultado los D dígitos del centro; el primer número se determina simplemente anteponiendo el “0.” a esos dígitos. Para obtener el segundo número se sigue el mismo procedimiento, solo que ahora se eleva al cuadrado los D dígitos del centro que se seleccionaron para obtener el primer número.

Este método se repite hasta obtener n números. A continuación se presentan con más detalle los pasos para generar números con el algoritmo de cuadrados medios.

1. Seleccionar la semilla ( ) X0 con D dígitos (D > 3).

2. Sea Y0= resultado de elevar X0 al cuadrado; sea X1 = los D dígitos del centro y sea r1 = 0.D dígitos del centro.

3. Sea Yi = resultado de elevar Xi al cuadrado; sea Xi+1 = los D dígitos del centro y sea ri+1 = 0.D dígitos del centro para toda i =1, 2, 3,..., n.

4. Repetir el paso 3 hasta obtener los n números ir deseados.

•  Algoritmo de productos medios

El algoritmo de productos medios requiere dos semillas, ambas con D dígitos; además, las semillas se multiplican y del producto se seleccionan los D dígitos del centro, los cuales formarán el primer número pseudo aleatorio ri = 0.D. Después se elimina una semilla y la otra se multiplica por el primer número de D dígitos, para luego seleccionar del producto los D dígitos que conformarán un segundo número ir.

Entonces se elimina la segunda semilla y se multiplican el primer número de D dígitos por el segundo número de D dígitos; del producto se obtiene el tercer número ir. Siempre se irá eliminando el número más antiguo, y el procedimiento se repetirá hasta generar los n números pseudo aleatorios. A continuación se presentan con más detalle los pasos del método para generar números con el algoritmo de productos medios.

1. Seleccionar una semilla ( ) X0 con D dígitos.

2. Seleccionar una semilla ( ) X1 con D dígitos.

3. Sea Y0 = X0 * X; sea X2 = los D dígitos del centro y sea r1 = 0.D dígitos del centro.

4. Sea Yi = Xi Xi+1: sea Xi+2 = los D dígitos del centro y sea ri+1 = 0.D dígitos del centro para toda i =1, 2, 3,..., n.

5. Repetir el paso 4 hasta obtener los n números ir deseados.

•  Algoritmo de multiplicador constante

Este algoritmo no congruencial es similar al algoritmo de productos medios. Los siguientes son los pasos necesarios para generar números pseudo aleatorios con el algoritmo de multiplicador constante.

1. Selecciona una semilla ( ) X0 con D dígitos (D > 3).

2. Seleccionar una constante (a) con D dígitos (D > 3).

3. Sea Y0 = a*X0; sea X1 = los D dígitos del centro y sea r1 = 0.D dígitos del centro.

4. Sea Yi = a*Xi; sea Xi+1 = los D dígitos del centro y sea ri+1 = 0.D dígitos del centro para toda i =1, 2, 3,..., n.

5. Repetir el paso 4 hasta obtener los n números ir deseados.

• Algoritmo Lineal

El algoritmo congruencial lineal genera una secuencia de números enteros por medio de la siguiente ecuación recursiva:

X_i+1 = (a Xi  + c) mod (m)

Con i =1, 2, 3,..., n

Donde X0 es la semilla, a es la constante multiplicativa, c es una constante aditiva y m es el módulo: X0 > 0, a > 0, c > 0 y m > 0 deben ser números enteros. La operación “mod m” significa multiplicar Xi por a, sumar c y dividir el resultado entre m para obtener el residuo Xi+1. Es importante señalar que la ecuación recursiva del algoritmo congruencial lineal genera una secuencia de números enteros y que para obtener números pseudo aleatorios en el intervalo (0, 1) se requiere de la siguiente ecuación:

Ri = X_i / m-1

Con i =1, 2, 3,..., n

Para que el algoritmo sea capaz de lograr el máximo período de vida n, es preciso que los parámetros X0, a, y m cumplan con ciertas condiciones. Banks, Carson, Nelson y Nicol sugieren lo siguiente: m debe ser múltiplo de g 2, donde g debe ser entero, a =1+ 4k, donde k debe ser entero y c debe ser relativamente primo a m. Bajo estas condiciones se obtiene un período de vida máximo: g N = m = 2.

•  Algoritmo congruencial multiplicativo

El algoritmo congruencial multiplicativo surge del algoritmo lineal cuando c = 0. Entonces la ecuación recursiva es:

X_i+1 = (a Xi  + c) mod (m)

Con i = 0,1, 2, 3,..., n.

En comparación con el algoritmo congruencial lineal, la ventaja del algoritmo multiplicativo es que implica una operación menos a realizar. Los parámetros de arranque de este algoritmo son X0, a y m, los cuales deben ser enteros y mayores que cero. Para transformar los números Xi en el intervalo (0, 1) se usa la ecuación:

Ri = X_i / m-1

Con i = 0,1, 2, 3,..., n.

Las condiciones que deben cumplir los parámetros para que el algoritmo congruencial multiplicativo alcance su máximo período son:

m debe ser múltiplo de g 2, donde g debe ser entero, a = 3+8k , donde k = 0,1, 2, 3,... , X0 debe ser un número impar. Bajo estas condiciones se logra un período de vida máximo: 2 /4 2 − = = g N k.

• Algoritmo Congruencial aditivo

Este algoritmo requiere una secuencia previa de n números aleatorios X X X X Xn , , , ,... 1 2 3 4 para generar una secuencia de números enteros que empiezan en , , , ,... Xn+1 Xn+2 Xn+3 Xn+4 Su ecuación recursiva es:

X_i = (X _i-1 +  X _i+1) mod (m)

Con i = n+1, n+ 2, n+ 3,..., N

Ri = X_i / m-1

• Algoritmo congruencial cuadrático.

Este algoritmo tiene la ecuación recursiva:

                                             X_i+1 = (a X_i²  +  b X _i + c) mod (m)

Con i = 0,1, 2, 3,..., n.

En este caso, los números ir pueden ser generados por la ecuación:

Ri = X_i / m-1

De acuerdo con L’Ecuyer, las condiciones que deben cumplir los parámetros m, a, b y c para alcanzar un período máximo de N = m son: m debe ser múltiplo de g 2, donde g debe ser entero, a debe ser un número par, m debe ser un número impar, y (b−1)mod4 =1. De esta manera se logra un período de vida máximo N = m.