TALLER EN CLASE

1. Tomando en cuenta la información suministrada por el IDEAM sitio web:

(http://bart.ideam.gov.co/cliciu/villao/temperatura.htm) 

Construir un modelo del clima de la Ciudad de Villavicencio y simular usando el método de Cadenas de Markov, el clima de los siguientes seis meses.

SOLUCIÓN

Según los datos se realizara el modelo de simulación para la gráfica de TEMPERATURAS MEDIAS.

TEOREMA 1

Si en cada paso hay una probabilidad constante p de obtener un resultado favorable, el número esperado de pasos hasta obtener el primer resultado favorable es 1/p.

Donde P= 0.5 y el número= 1/0.5=2

Teorema: En toda cadena de Markov absorbente la cadena de absorción es: 

·         La matriz identidad es una matriz cuadrada m*m = R^m*m.

·         La matriz nula es una matriz Mx (n-m) = R^{mx (n-m).}

·         La matriz R = R ^(n-m)*m.

·         La matriz Q = R ^(n-m)*(n-m).

Ejemplo:

EJERCICIOS

1. Después de muchos estudios sobre el clima hemos visto que si un día esta soleado en el 70% de los casos el día siguiente continué soleado y un 30% continué nublado.También nos fijamos que si un día esta nublado la probabilidad de que este soleado el día siguiente en de 60%. ¿Hoy esta nublado cual es la probabilidad de que mañana este nublado? ¿Cuál es la probabilidad de que este nublado pasado mañana?

Matriz

• La probabilidad de que mañana este nublado es de 40%.

• La probabilidad de que pasado mañana este nublado es:

 (0.4*0.4) + (0.6*0.3) = 0.34 = 34%. 

2. La peatonal de mi pueblo tiene 6 cuadras de largo, que van de norte a sur, como tengo una moneda, se me ocurre tirarla y caminar una cuadra hacia el norte si sale cara o una cuadra hacia el sur si sale sello. continuo hasta salir de la peatonal, ya sea hacia el norte o hacia el sur. Si comienzo justo en la mitad ¿Cuántas cuadras caminare hasta llegar a cualquiera de las esquinas?.

DEFINICIÓN DE UNA MATRIZ

Una matriz es un arreglo matemático rectangular de elementos que pueden ser números o letras formado por filas (m) y columnas (n) que nos da el orden de la matriz y la cual se representa generalmente con letras mayúsculas con subíndices numéricos:  

 

Con la siguiente representación trataremos de despejar las dudas que pudieran haber surgido:

En cualquier Matriz se puede distinguir la “ Diagonal Principal “ que es la formada por los elementos:  ,,,...

 

Cuando una Matriz tiene el mismo número de Filas que el de Columnas forma lo que se conoce como una matriz cuadrada a la cual se le puede representar por un número real dicho arreglo se le llamará Determinante.

   

• MATRIZ IDENTIDAD

La Matriz Identidad es aquella matriz cuadrada que tiene en su diagonal principal elementos que son la unidad  (unos  y los demás elementos son ceros ( 0 )

Ejemplos, de matrices identidad de Orden 1, Orden 2 y de Orden 3 respectivamente

• MATRIZ NULA  (0)

La Matriz Nula  m x n simbolizada por un cero, tiene m filas  y n columnas en la que todos sus elementos son “ceros “ y se la llama Identidad Aditiva en donde A+0=A.

CADENAS DE MARKOV

CADENAS DE MARKOV

1. ¿Una cadena de Markov es?

Una cadena de Markov es una sucesión de ensayos similares u observaciones en la cual cada ensayo tiene el mismo número finito de resultados posibles y en donde la probabilidad de cada resultado para un ensayo dado depende sólo del resultado del ensayo inmediatamente precedente y no de cualquier resultado previo.

2. ¿Un proceso de Markov es?

Un proceso de Markov tiene la propiedad de que la probabilidad de comportamiento futuro está totalmente definida si se conoce el estado actual. El conocimiento de estados previos al actual no altera la probabilidad de comportamiento futuro.

3. Los puntos en una cadena de Markov son:

Exhaustivos y mutuamente excluyentes

4. La ocurrencia de un estado futuro es: consecuencia de un estado anterior.

     5.  ¿Qué es transición?

Formalmente, el estado de un sistema en un instante t es una variable cuyos valore solo pueden pertenecer a los conjuntos de un estado de sistema. El sistema modelizado por la cadena, por lo tanto, es una variable que cambia el valor en el tiempo, cambio al que llamamos transición.

     6. ¿Qué es un estado absorbente?

Un estado tal que si el proceso en el permanecerá indefinidamente en este estado (ya que las probabilidades de pasar a cualquiera de los otros son cero).

    7. ¿Qué es una cadena ergòdica?

Una cadena de Markov es ergodica si todos sus estados son no nulos, no periódicos y recurrentes. Las cadenas de Markov ergòdicas cumplen la siguiente propiedad:

El límite lım_n→0 p(n)_ij existe y es independiente del estado inicial i. Lo denominaremos π_j.